分数背包
小 S 有 $n$ 块蛋糕,编号从 $1$ 到 $n$。第 $i$ 块蛋糕的价值是 $w_i$,体积是 $v_i$。他有一个大小为 $B$ 的盒子来装这些蛋糕,也就是说装入盒子的蛋糕的体积总和不能超过 $B$。他打算选择一些蛋糕装入盒子,他希望盒子里装的蛋糕的价值之和尽量大。
为了使盒子里的蛋糕价值之和更大,他可以任意切割蛋糕。具体来说,他可以选择一个 $a(0 < a < l)$,并将一块价值是 $w$,体积为 $v$ 的蛋糕切割成两 块,其中一块的价值是 $a\times w$,体积是 $a\times v$,另一块的价值是$(1-a)\times w$,体积是 $(1-a)\times v$。他可以重复无限次切割操作。
现要求编程输出最大可能的价值,以分数的形式输出。
比如 $n=3,B=8$,三块蛋糕的价值分别是 $4,4,2$,体积分别是 $5,3,2$。那么最优的方案就是将体积为 $5$ 的蛋糕切成两份,一份体积是 $3$,价值是 $2.4$,另一份体积是 $2$,价值是 $1.6$,然后把体积是 $3$ 的那部分和后两块蛋糕打包进盒子。最优的价值之和是 $8.4$,故程序输出 $\dfrac{42}{5}$。
输入的数据范围为:$1\leq n\leq 1000$,$1\leq B\leq 10^5$,$1\leq w_i,v_i\leq 100$。
提示:将所有的蛋糕按照性价比 $\dfrac{w_i}{v_i}$ 可从大到小排序后进行贪心选择。
试补全程序。
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn = 1005;
int n, B, w[maxn], v[maxn];
int gcd(int u, int v) {
if (v == 0)
return u;
return gcd(v, u % v);
}
void print(int w, int v) {
int d = gcd(w, v);
w = w / d;
v = v / d;
if (v == 1)
printf("%d\n", w);
else
printf("%d/%d\n" w, v);
}
void swap(int &x, int &y) {
int t = x; x = y; y = t;
}
int main() {
scanf("%d %d" &n, &B);
for (int i = 1; i <= n; i ++) {
scanf("%d %d", &w[i], &v[i]);
}
for (int i = 1; i < n; i ++)
for (int j = 1; j < n; j ++)
if (①) {
swap(w[j], w[j + 1]);
swap(v[j], v[j + 1]);
}
int curV, curW;
if (②) {
③
} else {
print(B * w[1] , v[1]);
return 0;
}
for (int i = 2; i <= n; i ++)
if (curV + v[i] <= B) {
curV += v[i];
curW += w[i];
} else {
print (④);
return 0;
}
print(⑤);
return 0;
}